
\prob{0044}{根式方程I}

求关于$x$的方程

\[ 5\sqrt x + 5\sqrt{2x + 3} + 2\sqrt{2x^2 + 3x} = 11 - 3x \]

的实数根。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = 9 - 4\sqrt5$}

\subsection{简单换元}

基本思路：通过换元求出$\sqrt x + \sqrt{2x + 3}$，然后解一元二次方程。

令

\[ p = \sqrt x, q = \sqrt{2x + 3} \]

易知$\sqrt{2x^2 + 3x} = pq$，$x, p, q$均为非负数。原方程可变形为

\begin{align*}
  5(p + q) + 2pq &= 14 - p^2 - q^2 \\
  (p + q)^2 + 5(p + q) - 14 &= 0 \\
  (p + q - 2)(p + q + 7) &= 0 \\
\end{align*}

由于$p + q \le0$，可知$p + q = 2$，即

\begin{align*}
  5(p + q) &= 10 \\
  2\sqrt{2x^2 + 3x} &= 1 - 3x \\
  8x^2 + 12x &= 1 - 6x + 9x^2 \\
  x^2 - 18x + 1 &= 0 \\
  x^2 - 18x + 81 &= 80 \\
  (x - 9)^2 &= 80 \\
  x - 9 &= \pm4\sqrt5 \\
  x &= 9 \pm4\sqrt5 \\
\end{align*}

代入原方程知$x = 9 + 4\sqrt5$不成立，为平方产生的余根；$x = 9 - 4\sqrt5$成立。综上，原方程实数根为$x = 9 - 4\sqrt5$。
